Что может стоять под знаком логарифма

Урок по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

что может стоять под знаком логарифма

как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма. под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства. Если основание логарифма возводится в степень A, за знак логарифма можно вынести число 1/A. В утверждениях могут стоять любые знаки (> . Применение свойств логарифмов при упрощении выражение. может принимать любое действительное значение, тогда на переменные a под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде.

Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.

Логарифмические неравенства — Гипермаркет знаний

Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить. Способы решения логарифмических неравенств Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств.

Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах. Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид: В этом неравенстве V — является одним из таких знаков неравенства, как: Это равносильно данной системе: Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже: Давайте попробуем решить такое вот неравенство: Решение области допустимых значений.

Теперь попробуем умножить его правую часть на: Смотрим, что у нас получится: Далее, следуя свойствам логарифмов, возьмем и внесем коэффициент —2, как степень подлогарифмического выражения и в итоге получим: Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства. Вот какой ответ у нас получился: Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств? Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Учимся решать простейшие логарифмические уравнения

Какой из них принадлежит указанному множеству? Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения.

Переходим ко второму уравнению: Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби.

что может стоять под знаком логарифма

Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается: Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле: Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его: Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5: Вот мы и получили каноническую форму! Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы: Оно легко решается с помощью формул Виета: Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения.

Это и есть окончательный ответ.

  • Урок по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств"
  • Логарифмы. Начальный уровень.

Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока: Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения. Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни. Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log.

Ведь когда аргументы приравниваются друг к другу, достаточно потребовать, чтобы больше нуля был лишь один из. Разумеется, мы сами выбираем, из какого аргумента составлять неравенство, поэтому логично выбирать самый простой.

Хотя результат получается один и тот.

что может стоять под знаком логарифма

Данное замечание существенно упрощает поиск ОДЗ, но будьте внимательны: Конечно, кто-то сейчас спросит: Например, в самом шаге, когда мы перемножаем два аргумента, содержащие переменную, заложена опасность возникновения лишних корней.

В результате упускается случай, когда каждая из этих дробей отрицательна. Поэтому если вы только начинаете разбираться со сложными логарифмическими уравнениями, ни в коем случае не перемножайте логарифмы, содержащие переменную x — уж слишком часто это приведет к возникновению лишних корней.

что может стоять под знаком логарифма

Лучше сделайте один лишний шаг, перенесите одно слагаемое в другую сторону составьте каноническую форму. Ну, а как поступать в том случае, если без перемножения таких логарифмов не обойтись, мы обсудим в следующем видеоуроке.: Еще раз о степенях в уравнении Сегодня мы разберем довольно скользкую тему, касающуюся логарифмических уравнений, а точнее — вынесение степеней из аргументов и оснований логарифмов.

Я бы даже сказал, речь пойдет о вынесении четных степеней, потому что именно с четными степенями возникает большинство затруднений и при решении реальных логарифмических уравнений. Начнем с канонической формы. Именно к ней стараются свести любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным и страшным оно не казалось на первый взгляд.

Вот давайте и попробуем.

Логарифмы с нуля. Определение. Свойства. Примеры. Решение логарифмов. Логарифмические свойства.

Начнем с первой задачи: И вот здесь у многих учеников возникает вопрос: Но когда мы выносим квадрат из основания логарифма, мы обязаны оставить в основании именно модуль. Дело в том, что с точки зрения математики вынесение степени равносильно извлечению корня. Но корень из квадрата — это не что иное как модуль.

Дальнейшее извлечение корня даст нам положительное число — уже без всяких минусов. В общем, чтобы не допускать обидных ошибок, запомните раз и навсегда: Корень четной степени из любой функции, которая возведена в эту же степень, равен не самой функции, а ее модулю: Возвращаемся к нашему логарифмическому уравнению. Говоря про модуль, я утверждал, что мы можем безболезненно снять. Строго говоря, мы обязаны были рассмотреть два варианта: Но есть одна загвоздка: Это требование должно выполняться независимо от всяких модулей и других преобразований, которые мы выполняем в процессе решения.

Следовательно, второй вариант рассматривать бессмысленно — он никогда не возникнет. Даже если при решении этой ветки неравенства мы получим какие-то числа, они все равно не войдут в окончательный ответ. Тогда наше уравнение перепишется в следующем виде: Теперь мы буквально в одном шаге от канонической формы логарифмического уравнения.

Совет 1: Как решить неравенство логарифмов

Давайте представим единицу в следующем виде: Избавляемся от знака логарифма: Уже хотя бы тем, что основания логарифмов — 3х и 9х — не являются натуральными степенями друг друга. Следовательно, переход, который мы использовали в предыдущем решении, невозможен. Давайте хотя бы избавимся от степеней. В нашем случае единственная степень стоит во втором аргументе: Перепишем наше логарифмическое уравнение: Вариантов тут множество, но мы рассмотрим лишь два из них, которые наиболее логичны, а самое главное — это быстрые и понятные приемы для большинства учеников.

Первый вариант мы уже рассматривали: Разумеется, в роли переменной с должно выступать нормальное число: Теперь перед нами обычное дробно-рациональное уравнение. Собираем все элементы слева: Очевидно, что множитель log2x лучше вынести, поскольку он присутствует и в первой, и во второй дроби. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Осталось проверить область определения.

Следовательно, он является окончательным решением. Вывод из данного решения просто: Просто в самом начале мы выбрали новое основание наугад — и это существенно усложнило процесс.

Но тогда возникает вопрос: Об этом я расскажу во втором способе.